Родился Анатолий Фёдорович в селе Козьмо-Демьянское Томаровского района Белгородской области в семье служащего. Трудовую деятельность начал в 17 лет в должности ответственного секретаря Томаровского райколхозсоюза, затем работал директором колхозной школы, заведующим Шебекинским райфо.
Анатолия Кривошея призвали в ряды Красной армии в сентябре 1939 года. Здесь он окончил курсы политруков, в должности заместителя командира третьего отдельного зенитно-артиллерийского дивизиона участвовал в освобождении Украины, Польши, Чехо-словакии, Венгрии. За образцовое выполнение боевых заданий командования, доблесть и мужество был награждён орденами Красной Звезды и Отечественной войны, медалями «За оборону Кавказа», «За взятие Будапешта», «За победу над Германией в Великой Отечественной войне 1941-1945 годов». Из армии демобилизовался в июне 1948 года в звании капитана.
Интересное время наступило в конце 1940-х годов, когда Анатолий Фёдорович возглавил шебекинский райком партии. В послевоенные годы необходимо было восстанавливать производство, сельское хозяйство. Здесь и пригодился организаторский талант Анатолия Кривошея.
Под его руководством в начале 1950-х годов шебекинские колхозы почти в три раза увеличили производство молока, в два раза – свинины, что позволило сдавать государству больше продуктов животноводства и перевыполнить установленные планы поставок и закупок. Машинно-тракторные станции применяли узловой метод ремонта и новую систему технических уходов – по количеству израсходованного топлива. Это позволяло экономить горючее, деньги на ремонт и лучше сохраняло тракторный парк.
Свои наработки Анатолий Кривошей обобщил в книге «Главное в организаторской работе», вышедшей в 1956 году. В ней подробно описан опыт руководства райкомом КПСС и первичными парторганизациями, опыт в развитии сельского хозяйства. Книга стала хорошим подспорьем в работе партийных кадров районов, колхозов и МТС.
«Одним словом, он, конечно, был трудягой. Всё время работа, работа и работа. У него не было выходных. И человек был добрейший. На работе, на службе отношение ко всем людям было чутким, внимательным, независимо от их должностей и статусов. Никогда не лгал, презирал подхалимов, интриганов. А такие качества, как самовлюблённость, карьеризм, жажда власти, отсутствовали начисто. При этом он всегда оставался независимым, принципиальным работником и человеком», – рассказывает дочь Валентина Шинкаренко.
На 50-летие одна из бывших коллег Анатолия Фёдоровича подарила ему настольные часы с надписью «Солдату армии, солдату партии, самому человечному человеку в моей жизни».
В марте 1957 года его избрали первым заместителем председателя Белгородского облисполкома, а с января 1963 года по октябрь 1970 года Анатолий Кривошей работал секретарём Белгородского обкома КПСС. Следующие три года – заместителем председателя Белгородского облисполкома.
Последние 16 лет жизни он посвятил научной и учебной работе, возглавляя Белгородский факультет Всесоюзного заочного финансово-экономического института. Анатолий Фёдорович сформировал сильную профессорско-преподавательскую команду, многим преподавателям и студентам помог решить квартирный вопрос.
Принципы, которыми руководствовался Анатолий Кривошей и в жизни, и в работе: требовательность, честность, справедливость, а самое главное – человечность.
Казалось, его работоспособности и энергии нет предела, но всё прервала тяжёлая болезнь, и на 80-м году он ушёл из жизни.
В год 100-летия со дня рождения Анатолия Кривошея губернатор и правительство Белгородской области приняли решение об увековечении его памяти. И в ближайшее время на улице 50-летия Белгородской области, 2 в Белгороде, где жил Анатолий Фёдорович, установят мемориальную доску.